Пространство n измерений

Функция: u=f(x[1],x[2],...,x[n])
Ассоциация с геометрией обычного пространства:
 а) x[1],x[2],...,x[n]     - КООРДИНАТЫ
 б) x={x[1],x[2],...,x[n]} - ВЕКТОР

Для x,y вводятся стандартные операции:
 а) УМНОЖЕНИЕ НА СКАЛЯР λ:  λx={λx[1],...,λx[n]}
 б) СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ:   x±y={x[1]±y[1],...,x[n]±y[n]}
 в) СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ: x∙y=(x,y)=xy=x[1]y[1]+...+x[n]y[n]
 г) НОРМА (ДЛИНА ВЕКТОРА):  ||x||=√(x^2)=√(x[1]^2+...+x[n]^2)
Множество векторов, на которых введены перечисленные операции, называют n-мерным ЕВКЛИДОВЫМ пространством и обозначают R^n.

Умножение вектора на число λ:
 а) |λ|>1 - растягивает вектор
 б) |λ|<1 - сжимает вектор
 в) λ>0   - не меняет направление вектора
 г) λ<0   - меняет направление вектора на противоположное

Сложение соответсвует обычному правилу сложения векторов по правилу параллелограмма.
Вычитание выводится из сложения: b-a определяется как вектор, который в сумме с a дает b.

На плоскости скалярному произведению соотвествует перемножение длин векторов на косинус угла между ними.

В общем случае такая интерпретация может быть сохранена благодаря известному НЕРАВЕНСТВУ КОШИ-БУНЯКОВСКОГО:
x∙y≤||x||∙||y||
т.е.
x[1]y[1]+...+x[n]y[n]≤√(x[1]^2+...+x[n]^2)√(y[1]^2+...+y[n]^2)
которое дает возможность вести понятие косинуса угла при любом n
cosφ=(x∙y)/(||x||∙||y||)

Векторы x,y определяют как ОРТОГОНАЛЬНЫЕ, если их скалярное произведение равно нулю, x∙y=0.
Важная роль ортогональности заключена в том, что с ее помощью определяется понятие ПЛОСКОСТИ, как множества векторов x, ортогональных некоторому вектору a
a∙x=0
т.е
a[1]x[1]+...+a[n]x[n]=0

Множество векторов {x^1,...,x^k} ЛИНЕЙНО ЗАВИСИМО, если существуют такие коэффициенты λ[1],...,λ[k], не все равные нулю, что
λ[1]x^1+...+λ[k]x^k=0

КОЛЛИНЕАРНЫЕ векторы, например, - всегда линейно зависимы.
Коллинеарными называют векторы, лежащие на одной прямой, т.е. векторы, которые одинаково или провоположно направлены.

Линейно независимое множество {e^1,...,e^n} называются БАЗИСОМ, если любой вектор x можно представить в виде линейной комбинации
x=λ[1]e^1+...+λ[n]e^n

Стандартный базис R^n:
e[1]={1,0,...,0},e[2]={0,1,...,0},...,e[n]={0,0,...,n}
Число n векторов, составляющих базис (и не зависящее от выбора последнего), определяет РАЗМЕРНОСТЬ пространства.

Пространство n измерений

Дифференциальные уравнения
Аттракторы и детерминированный хаос
Бифуркации и катастрофы
Солитоны
Теория устойчивости
Аналитическая механика
Теория регулирования
Конусные методы
Модели коллективного поведения
Дискретная математика

Есть три способа отвечать на вопросы: сказать необходимое, отвечать с приветливостью и наговорить лишнего.
Плутарх

Подготовительная часть работы занимает 90 % времени

Скалярное произведение

Скалярное произведение записывается как •. Чтобы рассчитать скалярное произведение двух векторов, мы должны умножить их компоненты, а затем сложить полученные результаты вместе. На первый взгляд это кажется бесполезным, но посмотрим внимательнее на это:

Здесь мы можем увидеть, что если вектора указывают в одном направлении, то их скалярное произведение больше нуля. Когда они перпендикулярны друг другу, то скалярное произведение равно нулю. И когда они указывают в противоположных направлениях, их скалярное произведение меньше нуля.

Нормализация векторов

Нормализированный вектор - это вектор, длина которого равна единице. Направление остаётся тем же, но длина становится единичной. Нужно просто для того чтобы только направление осталось.

 

Пример применения:
Есть вектор с неизвестной длиной, нужен вектор в том же направлении только равный 500. Для того чтобы получить вектор длиной равной 500, нужно умножить нормализованный единичный вектор на 500.

Косинус угла между векторами

Пример: найдите косинус угла между векторами а(3,4) и b(8,6)?
Решение:
Сначала находим модули эти векторов:

|a|=sqrt(3²+4²)=5
|b|=sqrt(8²+6²)=10

Теперь находим скалярное произведение этих векторов:

a•b=(3*8+4*6)=24+24=48

Находим угол между векторами, cos угла между векторами а и b:

(a•b)/(|a|*|b|)=48/50=24/25=0.96

Расстояние между векторами

Если рассматривать векторы как элементы линейного (векторного) пространства, то в этом пространстве можно ввести метрику, сделав таким образом это пространство топологическим векторным пространством. Метрика между двумя векторами это подобие расстояния между точками. Если рассматривать реальное трехмерное пространство как топологическое линейное (векторное) пространство, то стандартной метрикой является:

r(a,b)=(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²+(z₁-z₂)², если a=(x₁,y₁,z₁) и b=(x₂,y₂,z₂).

Метрику можно вводить многими разными способами, получая при этом разные топологические пространства. Однако, аналогия между геометрическими векторами, здесь не совсем уместна. Аналогия здесь такая: точка пространства - вектор топологического линейного пространства, для геометрических векторов существует аналогия в теории аффинных пространств.

Как вычислить угол между двумя точками

Если нужно вычислить угол между линией определенной этими двумя точками и горизонтальной осью:

double angle = atan2(y2 — y1, x2 — x1) * 180 / PI;

Если нужен угол между векторами OP1 и OP2 (где O начало), то нужно знать скалярное произведение между двумя векторами u и v:

u . v = u.x * v.x + u.y * v.y = |u|*|v|*cos(a)

a — угол между векторами.

Так что угол вычисляется так:

double n1 = sqrt(x1*x1+y1*y1), n2 = sqrt(x2*x2+y2*y2);

double angle = acos((x1*x2+y1*y2)/(n1*n2)) * 180 / PI;