Дифференциальные уравнения
Аттракторы и детерминированный хаос
Бифуркации и катастрофы
Солитоны
Теория устойчивости
Аналитическая механика
Теория регулирования
Конусные методы
Модели коллективного поведения
Дискретная математика
Есть три способа отвечать на вопросы: сказать необходимое, отвечать с приветливостью и наговорить лишнего.
Плутарх
Подготовительная часть работы занимает 90 % времени
Пространство n измерений
Функция: u=f(x[1],x[2],...,x[n])
Ассоциация с геометрией обычного пространства:
а) x[1],x[2],...,x[n] - КООРДИНАТЫ
б) x={x[1],x[2],...,x[n]} - ВЕКТОР
Для x,y вводятся стандартные операции:
а) УМНОЖЕНИЕ НА СКАЛЯР λ: λx={λx[1],...,λx[n]}
б) СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ: x±y={x[1]±y[1],...,x[n]±y[n]}
в) СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ: x∙y=(x,y)=xy=x[1]y[1]+...+x[n]y[n]
г) НОРМА (ДЛИНА ВЕКТОРА): ||x||=√(x^2)=√(x[1]^2+...+x[n]^2)
Множество векторов, на которых введены перечисленные операции, называют n-мерным ЕВКЛИДОВЫМ пространством и обозначают R^n.
Умножение вектора на число λ:
а) |λ|>1 - растягивает вектор
б) |λ|<1 - сжимает вектор
в) λ>0 - не меняет направление вектора
г) λ<0 - меняет направление вектора на противоположное
Сложение соответсвует обычному правилу сложения векторов по правилу параллелограмма.
Вычитание выводится из сложения: b-a определяется как вектор, который в сумме с a дает b.
На плоскости скалярному произведению соотвествует перемножение длин векторов на косинус угла между ними.
В общем случае такая интерпретация может быть сохранена благодаря известному НЕРАВЕНСТВУ КОШИ-БУНЯКОВСКОГО:
x∙y≤||x||∙||y||
т.е.
x[1]y[1]+...+x[n]y[n]≤√(x[1]^2+...+x[n]^2)√(y[1]^2+...+y[n]^2)
которое дает возможность вести понятие косинуса угла при любом n
cosφ=(x∙y)/(||x||∙||y||)
Векторы x,y определяют как ОРТОГОНАЛЬНЫЕ, если их скалярное произведение равно нулю, x∙y=0.
Важная роль ортогональности заключена в том, что с ее помощью определяется понятие ПЛОСКОСТИ, как множества векторов x, ортогональных некоторому вектору a
a∙x=0
т.е
a[1]x[1]+...+a[n]x[n]=0
Множество векторов {x^1,...,x^k} ЛИНЕЙНО ЗАВИСИМО, если существуют такие коэффициенты λ[1],...,λ[k], не все равные нулю, что
λ[1]x^1+...+λ[k]x^k=0
КОЛЛИНЕАРНЫЕ векторы, например, - всегда линейно зависимы.
Коллинеарными называют векторы, лежащие на одной прямой, т.е. векторы, которые одинаково или провоположно направлены.
Линейно независимое множество {e^1,...,e^n} называются БАЗИСОМ, если любой вектор x можно представить в виде линейной комбинации
x=λ[1]e^1+...+λ[n]e^n
Стандартный базис R^n:
e[1]={1,0,...,0},e[2]={0,1,...,0},...,e[n]={0,0,...,n}
Число n векторов, составляющих базис (и не зависящее от выбора последнего), определяет РАЗМЕРНОСТЬ пространства.
Аттракторы и детерминированный хаос
Бифуркации и катастрофы
Солитоны
Теория устойчивости
Аналитическая механика
Теория регулирования
Конусные методы
Модели коллективного поведения
Дискретная математика
Есть три способа отвечать на вопросы: сказать необходимое, отвечать с приветливостью и наговорить лишнего.
Плутарх
Подготовительная часть работы занимает 90 % времени
Пространство n измерений
Функция: u=f(x[1],x[2],...,x[n])
Ассоциация с геометрией обычного пространства:
а) x[1],x[2],...,x[n] - КООРДИНАТЫ
б) x={x[1],x[2],...,x[n]} - ВЕКТОР
Для x,y вводятся стандартные операции:
а) УМНОЖЕНИЕ НА СКАЛЯР λ: λx={λx[1],...,λx[n]}
б) СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ: x±y={x[1]±y[1],...,x[n]±y[n]}
в) СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ: x∙y=(x,y)=xy=x[1]y[1]+...+x[n]y[n]
г) НОРМА (ДЛИНА ВЕКТОРА): ||x||=√(x^2)=√(x[1]^2+...+x[n]^2)
Множество векторов, на которых введены перечисленные операции, называют n-мерным ЕВКЛИДОВЫМ пространством и обозначают R^n.
Умножение вектора на число λ:
а) |λ|>1 - растягивает вектор
б) |λ|<1 - сжимает вектор
в) λ>0 - не меняет направление вектора
г) λ<0 - меняет направление вектора на противоположное
Сложение соответсвует обычному правилу сложения векторов по правилу параллелограмма.
Вычитание выводится из сложения: b-a определяется как вектор, который в сумме с a дает b.
На плоскости скалярному произведению соотвествует перемножение длин векторов на косинус угла между ними.
В общем случае такая интерпретация может быть сохранена благодаря известному НЕРАВЕНСТВУ КОШИ-БУНЯКОВСКОГО:
x∙y≤||x||∙||y||
т.е.
x[1]y[1]+...+x[n]y[n]≤√(x[1]^2+...+x[n]^2)√(y[1]^2+...+y[n]^2)
которое дает возможность вести понятие косинуса угла при любом n
cosφ=(x∙y)/(||x||∙||y||)
Векторы x,y определяют как ОРТОГОНАЛЬНЫЕ, если их скалярное произведение равно нулю, x∙y=0.
Важная роль ортогональности заключена в том, что с ее помощью определяется понятие ПЛОСКОСТИ, как множества векторов x, ортогональных некоторому вектору a
a∙x=0
т.е
a[1]x[1]+...+a[n]x[n]=0
Множество векторов {x^1,...,x^k} ЛИНЕЙНО ЗАВИСИМО, если существуют такие коэффициенты λ[1],...,λ[k], не все равные нулю, что
λ[1]x^1+...+λ[k]x^k=0
КОЛЛИНЕАРНЫЕ векторы, например, - всегда линейно зависимы.
Коллинеарными называют векторы, лежащие на одной прямой, т.е. векторы, которые одинаково или провоположно направлены.
Линейно независимое множество {e^1,...,e^n} называются БАЗИСОМ, если любой вектор x можно представить в виде линейной комбинации
x=λ[1]e^1+...+λ[n]e^n
Стандартный базис R^n:
e[1]={1,0,...,0},e[2]={0,1,...,0},...,e[n]={0,0,...,n}
Число n векторов, составляющих базис (и не зависящее от выбора последнего), определяет РАЗМЕРНОСТЬ пространства.
