Задача: расширить рациональную числовую область введением некоторых новых чисел.
В новой, расширенной числовой области должны быть выполнимы операции:
- извлечения корня из положительного числа;
- нахождение логарифма положительного числа при положительном основании;
- нахождение числового значения тригонометрической функции данного угла.
Как и при введении чисел отрицательных и дробных, определить новые числа так чтобы:
- новая числовая область заключала в себе прежнюю, как часть;
- основные свойства рациональных операций (+, -, *, /) сохранялись при производстве этих операций над новыми числами.
Свойства операций над рациональными числами:
- система рациональных чисел есть числовое поле;
- сложение обладает свойством переместительным, или коммутативным (a + b = b + a) и сочетательным, или ассоциативным [a + (b + c) = a + b + c];
- умножение обладает свойством переместительным (ab = ba), сочетательным [a(bc) = abc] и, сверх того, распределительным, или дитрибутивным свойством относительно сложения [(a + b)c = ac + bc];
- a + 0 = 0 + a = a;
- a * 1 = a;
- a * 0 = 0;
- правила знаков при сложении и умножении;
- если ab = 0, то либо a = 0, либо b = 0.
Система рациональных чисел представляет собою скалярное поле.
В поле рациональных чисел нет числа, равного pow(A, 1/n), если целое число A не есть точная n-ая степень целого числа (докажите!).
