Вопрос: А я вот так и не понял, в каких случаях скалярное произведение задаётся НЕ единичной матрицей. И в физике институтской и в математике было только a1b1+a2b2+...anbn.
Ответ: В случае, если Вы используете в пространстве базис, не являющийся ортогональным. Такая ситуация довольно часто возникает в физике, например, в теории относительности. Соответствующая матрица - на самом деле является тензором, так называемым метрическим тензором, и задает, как говорят, метрику в этом пространстве...
Вопрос: Евклидово пространство определяется как конечномерное векторное пространство с введенным на нем скалярным произведением. В этой лекции вводится скалярное произведение над непрерывными функциями, пространство которых, насколько я понимаю, бесконечномерно. Для такого бесконечномерного пространства есть специальное название?
Ответ: У нас это иногда называется предгильбертовым пространством...
Вопрос: Что значит обозначение ":="?
Ответ: По определению. То, что стоит слева, определяется правой частью этого равенства...
