Скалярным полем называется такое поле, относительно элементов которого установлены понятия о равном, большем и меньшем.
Имеется: 2 совокупности предметов, взятых в конечном числе.
Повторно отнимаем от каждой совокупности одновременно по одному предмету (метод исчерпывания). Одна из совокупностей исчерпается, ибо таков смысл утверждения, что совокупность содержит конечное число предметов. Если вместе с этим мы исчерпаем и другую, то мы будем говорить, что совокупности равны. В противном случае мы скажем, что совокупности неравны, при чем одна из них, именно та, которая раньше исчерпывается, меньше другой, а эта последняя больше первой.
Если каждому элементу (a') первой совокупности соответствует один и только один элемент (b') второй совокупности, то между элементами одной совокупности и элементами другой установлено однозначное соответствие. Если же, сверх того, каждому элементу (b') второй соответствует, в свою очередь, один и только один, и именно первоначальный элемент (a') первой, то соответствие называется одно-однозначным.
Пример
Совокупность цифр: 1, 2, 3, 4, 5
Совокупность букв: a, b, c, d
Однозначное соответствие:
1 - a
2 - b
3 - c
4 - d
5 - d
Пример
Совокупность цифр: 1, 2, 3, 4, 5
Совокупность букв: a, b, c, d, e
Одно-однозначное соответствие: (1, a); (2, b); (3, c); (4, d); (5, e)
Если между двумя совокупностями можно установить одно-однозначное соответствие, то говорят, что эти две совокупности обладают равной (или одинаковой) мощностью.
Две конечные совокупности считаются равными в том и только в том случае, если они обладают одинаковой мощностью. Если это не имеет места и если при этом одна из совокупностей может быть приведена в одно-однозначное соответствие с правильной частью другой, то говорят, что первая совокупность меньше второй и что вторая большей первой.
Совокупность B называется частью совокупности A, если каждый элемент из B есть также элемент совокупности A. Если притом в совокупности A есть элемент, которого нет в B, то B называется правильной частью совокупности A. Если B есть неправильная часть совокупности A, то совокупность B есть совокупность 
.
.
--
