Операция извлечения корня не всегда выполнима в поле рациональных чисел. Например, радикал sqrt(2) не существует в этом поле. Доказательство по идее принадлежит Евклиду. Другой способ доказательства принадлежит Дедекинду.
Прежде чем приступать к самому доказательству, необходимо напомнить:
Из равенств (2n)2 = 4n2 и (2n + 1)2 = 4n2+ 4n + 1 вытекает, что, квадрат четного числа есть четное, а квадрат нечетного есть нечетное число; стало быть, и обратно: число будет четным или нечетным, смотря по тому, будет ли его квадрат четным или нечетным.
Пусть p/q будет искомое рациональное число, представленное в виде несократимой дроби.
sqrt(2) = p/q
2 = p2/q2
Тогда p2 = 2q2, откуда вытекает, что p2, а следовательно, и p есть число четное, т.е. p = 2n, где n некоторое целое число. Так как q взаимно простое с p, то, следовательно, q число нечетное.
Полагая p = 2n в равенстве p2 = 2q2, получим q2 = 2n2, т.е. q2, а, следовательно, и q число четное.
Таким образом, требование найти рациональное число, квадрат которого был бы равен 2, приводит к невыполнимому требованию найти целое число q, четное и нечетное одновременно. Логическое противоречие.
