Геометрия (и математика вообще) - дедуктивная наука. На геометрии выясняет, а часто строит свои теории логика, на ней сосредоточены исследования и сомнения теории познания, её авторитетом нередко прикрывает многие бессодержательные рассуждения метафизика.
Элементарная истина - аксиома или постулат. Например, из точки взятой на прямой можно к ней возставить в плоскости один и только один перпендикуляр.
Истина - теорема.
Доказательство - вывод теоремы из небольшого числа аксиом путем ряда умозаключений. Геометрия признает только строгие (логически безупречные) доказательства. "Я часто прихожу к доказательствам, которые убедили бы всякого другого; мне же они не говорят ничего" - Гаусс.
Что такое логический вывод? Принимая известную систему предложений A, мы часто бываем вынуждены принять другие предложения B, которые явно, непосредственно в системе A не содержатся. В таком случае говорят, что предложения B представляют собой вывод из системы A, следствие этой системы. Доказать предложение B при помощи системы A - значит обнаружить, что, принимая систему предложений A, мы вынуждены, в силу законов нашего мышления, принять предложение B. Если поэтому система A не дана, то требование доказать предложение B сводится к следующему: показать, что, принимая неизвестно что, я вынужден принять предложение B. При всей нелепости такого рода задачи, часто научная мысль замыкается в этот ложный круг. Современная геометрия, как система не интуитивная, а логическая, - представляет собой именно такого рода ложный круг.
Бесхитростное апеллирование к интуиции ("смотри" - Ганези), как к единственному удостоверению правильности высказанной истины, знаменует, конечно, младенческое состояние геометрии. Современный математик с негодованием отвергнет такую наивную аргументацию.
