Логарифмы

Логарифмом числа x по основанию b называется такой показатель степени a, в которую нужно возвести b, чтобы получить x.

log_bx = a тогда и только тогда, когда b^a = x.

log₁₀45 приблизительно равен 1,653, поскольку 10^1,653 ≈ 45.

Основанием логарифма может служить любое положительное число, отличное от 1, однако в анализе алгоритмов чаще всего встречаются логарифмы по основаниям 10 и 2.

Логарифм - строго возрастающая функция, если его основание больше 1. Это означает, что если x > y, то log_bx > log_by для любого основания b. Логарифм - взаимно однозначная функция, т.е. если log_bx = log_by, то x = y.

Важные свойства логарифма, справедливые при положительных значениях входящих в них переменных:

• log_b1 = 0; (1.3)
• log_bb = 1; (1.4)
• log_b(xy) = log_bx + log_by; (1.5)
• log_bx^y = ylog_bx; (1.6)
• log_ax = log_bx / log_ba; (1.7)

Тождество log_ax = log_bx / log_ba позволяет менять основание логарифма.

Большинство калькуляторов позволяют вычислять логарифмы по основанию 10 и натуральные логарифмы (по основанию e).

log₄₂75 = log_e75 / log_e42 ≈ 1,155