Кантор доказал, что комплекс всех рациональных чисел есть комплекс исчислимый.
Будем рассматривать только несократимые дроби, как положительные, так и отрицательные. Знак "-" при отрицательной дроби будем относить к ее числителю. Всякое целое число n (включая и число 0) будем рассматривать, как несократимую дробь вида n/1.
Назовем высотою дроби p/q сумму |p| + |q|, где знаки |p| и |q| означают соответственно абсолютные величины чисел p и q. Символ |A| был введен Вейерштрассом для обозначения абсолютной величины числа A. Легко видеть, что дробей с данной высотой n будет всегда конечное число, которое не больше числа 2(n - 1), ибо числителями этих дробей могут быть только числа ±1; ±2; ...; ±(n - 1).
В каждом классе дробей с данной высотой n расположим дроби в порядке возрастания. Самые же классы расположим в порядке возрастания высот. Тогда мы получим следующее расположение рациональных чисел, представленных в виде несократимых дробей:
Дроби: 0/1; -1/1; 1/1; -2/1; -1/2; 1/2; 2/1; -3/1; -1/3; 1/3; 3/1; ...
Номера мест: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; ...
Отнесем к каждой дроби натуральное число и именно то, которое обозначает номер места этой дроби в нашем расположении. Так как число дробей в каждом классе ограничено, то каждому рациональному числу будет соответствовать одно и только одно натуральное число и обратно. Так, например, рациональному числу -1/2 соответствует натуральное число 5, как номер места, а натуральному числу 10, как номеру места, соответствует число 1/3. Мы установили, следовательно, одно-однозначное соответствие между классом всех рациональных чисел и классом чисел натурального ряда, - иначе говоря, доказали, что эти два класса обладают одинаковой мощностью.
