- понятие о вещественном числе;
- понятие о длине прямолинейного отрезка;
- понятие о сходящемся расположенном многообразии;
- свойства функций;
- теорема Вейерштрасса.
Если для расположенного многообразия не ставить требования, чтобы из каждых двух данных его элементов один был предыдущим, другой последующим, а требовать только, чтобы возможно было указать элемент многообразия, следующий за каждыми двумя данными его элементами, то при помощи таких именно многообразий доказывается существование определенного интегралла.
Что такое операция
Система рациональных чисел, основные операции: сложение, вычитание, умножение, деление.Если из системы чисел a, b, c, ... по каким-либо правилам получена другая система чисел k, l, m, ..., то говорят, что над числами a, b, c, ... произведена операция, результатом которой являются числа k, l, m, ....
Принято также говорить, что рассматриваемая операция относит к системе a, b, c, ... систему k, l, m, ..., или что система k, l, m, ..., в силу данной операции, сопряжена с системой a, b, c, ....
Например, к числам 3 и 2 относим - в случае:
- сложения число 5;
- вычитания - число 1;
- умножения - число 6;
- деления - утверждаем, что соответствующего числа в нашей системе нет, ибо среди целых положительных чисел нет такого, которое, будучи умножено на 2, дало бы 3.
Операция называется выполнимой для данной системы двух или нескольких чисел, если она относит к этим числам некоторое число. В том случае, когда, в силу определения операции, мы не можем к данным числам отнести никакого числа, операция называется невыполнимой.
Если операция определена так, что она относит к данным числам только одно число, то операция называется однозначной. В противном случае мы говорим, что операция многозначна.
Например, извлечение квадратного корня из числа 4 является примером двузначной операции, ибо sqrt(4) = ± 2.
В области всех рациональных чисел операция деления всегда выполнима и однозначна, за исключением деления на 0. Деление на 0 приходится исключить из системы рассматриваемых операций по следующим соображениям:
- если делитель равен 0, а делимое не равно 0, то частного нет, ибо в системе рациональных чисел нет такого числа, которое, будучи умножено на 0, дало бы в произведении число, отличное от 0;
- если же делимое и делитель равны 0, то частное есть какое угодно число, ибо всякое рациональное число, будучи умножено на 0, дает в произведении 0.
Что такое числовое поле (корпус)
Если в некоторой числовой системе все основные операции (+, -, *, / (за исключением деления на 0)) выполнимы и однозначны относительно каждой пары чисел, то такая система называется числовым корпусом, числовым полем. Любая из основных операций, применяемая к системе чисел, принадлежащих некоторому корпусу, дает в результате определенное число, принадлежащее тому же корпусу.Система целых положительных чисел не есть числовой корпус, ибо операция вычитания в случае, когда вычитаемое больше уменьшаемого или равно ему, невыполнима. С целью сделать и в этих случаях вычитание выполнимым были введены отрицательные числа и число 0. Введение отрицательных чисел дало возможность заменить вычитание сложением [a - b = a + (-b)]. Но и эта расширенная система всех целых чисел еще не представляет собою корпуса, ибо в ней операция деления не всегда выполнима. С целью сделать операцию деления возможной для всякой пары целых чисел, были введены дробные числа. Введение дробных чисел дало возможность заменять деление умножением [a : b = a * 1/b]. Таким образом построена новая числовая область "рациональных чисел".
Система рациональных чисел есть, следовательно, числовой корпус.
Число 0 само по себе образует числовое поле (покажите!).
Поле рациональных чисел входит в состав любого числового поля (покажите!).
